已知椭圆x^2/3+y^2/2=1的左、右焦点..一高考题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/03 09:21:13
已知椭圆x^2/3+y^2/2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P。
（1）设P的坐标为（x0,y0),证明：x0^2/3+y0^2/2<1;
(2)求四边形ABCD的面积的最小值

希望给出具体过程,谢谢~

证明P再椭圆内

1、点P在以F1F2为直径的圆C：x^2＋y^2＝1，圆C包含在椭圆内，所以，点P在椭圆内，所以，x0^2/3＋y0^2/2＜1。

2、特殊情况：AC和BD中有一条直线垂直于x轴，则另外一条直线就是x轴，此时四边形的面积S＝4。

一般地，假设直线BD的方程是x＝ky－1，联立直线方程与椭圆方程，得：(2k^2＋3)y^2－4ky－4＝0。

设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则BD＝√(1＋k^2)|y1－y2|＝√48×(1＋k^2)/(2k^2＋3)。

直线AC的斜率是－1/k，方程是x＝－y/k＋1，同理，得：AC＝√48×(1＋1/k^2)/(2/k^2＋3)。

所以，四边形ABCD的面积S＝1/2×AC×BD＝24×(1＋k^2)×(1＋1/k^2)/(2k^2＋3)(2/k^2＋3)＝24×(2＋k^2＋1/k^2)/(13＋6k^2＋6/k^2)＝24×(2＋u)/(13＋6u)。

因为u＝k^2＋1/k^2≥2，计算S＝24×(2＋u)/(13＋6u)的取值范围是[98/25，4)。

综上，得：四边形ABCD的面积的最小值是98/25，此时，k＝1。